પ્રશ્ન 1(અ) [3 ગુણ]

વ્યાખ્યા આપો. : ૧) બ્રાંચ ૨) જંક્શન ૩) મેશ

ઉત્તર:

બ્રાંચ: બ્રાંચ એટલે એક અથવા વધારે સર્કિટ તત્વો જે નેટવર્કના બે નોડ્સ વચ્ચે જોડાયેલા હોય.
જંક્શન: જંક્શન (અથવા નોડ) એટલે એવું બિંદુ જ્યાં બે અથવા વધારે સર્કિટ તત્વો એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય.
મેશ: મેશ એટલે નેટવર્કમાં એક બંધ પથ જેમાં અન્ય કોઈ બંધ પથ તેની અંદર ન હોય.

મેમરી ટ્રીક: "BJM: Branches Join at junctions to Make meshes"

પ્રશ્ન 1(બ) [4 ગુણ]

જરુરી સર્કિટ સાથે વોલ્ટેજ અને કરંટ ડિવિઝન નો નિયમ લખો.

ઉત્તર:

વોલ્ટેજ ડિવિઝન નિયમ: સિરીઝ સર્કિટમાં, કોઈપણ ઘટક પરનો વોલ્ટેજ તેના રેઝિસ્ટન્સના પ્રમાણમાં હોય છે.

graph LR
    A((\+)) --- B[R1] --- C[R2] --- D((–))
    E[V1] -.- B
    F[V2] -.- C
    G[VS] -.- A

સૂત્ર: V₁ = VS × (R₁/(R₁+R₂))
ઉપયોગ: સિરીઝ ઘટકો પરના વ્યક્તિગત વોલ્ટેજ ડ્રોપ્સ શોધવા માટે વપરાય છે

કરંટ ડિવિઝન નિયમ: પેરેલલ સર્કિટમાં, કોઈપણ શાખામાંથી પસાર થતો કરંટ તેના રેઝિસ્ટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

graph LR
    A((\+)) --- B --- C((–))
    B --- D[R1] --- C
    B --- E[R2] --- C
    F[I1] -.- D
    G[I2] -.- E
    H[IS] -.- A

સૂત્ર: I₁ = IS × (R₂/(R₁+R₂))
મુખ્ય સિદ્ધાંત: કરંટ ઓછા રેઝિસ્ટન્સનો માર્ગ પસંદ કરે છે

મેમરી ટ્રીક: "VoSe CuPa: Voltage divides in Series, Current divides in Parallel"

પ્રશ્ન 1(ક) [7 ગુણ]

Fig. (૧) માં બતાવેલ નેટવર્ક માટે ગ્રાફ અને ટ્રી દોરો. ગ્રાફ પર લિંક કરંટ બતાવો. સાથે ટ્રી માટે ટાઇ-સેટ સેડ્યુલ લખો.

ઉત્તર:

નેટવર્કનો ગ્રાફ:

graph LR
    A((A)) --- B((B))
    A --- C((C))
    A --- D((D))
    B --- C
    B --- D
    C --- D
    A -- 1 --- B
    A -- 3 --- C
    B -- 2 --- D
    C -- 5 --- D
    B -- 6 --- C
    A -- 7 --- D
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

નેટવર્કનું ટ્રી (બોલ્ડ એજ સાથે બતાવેલ):

graph LR
    A((A)) --- B((B))
    A --- C((C))
    C --- D((D))
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    linkStyle 0 stroke-width:4px,stroke:green
    linkStyle 1 stroke-width:4px,stroke:green
    linkStyle 2 stroke-width:4px,stroke:green

લિંક કરંટ (બાકીની શાખાઓ પર બતાવેલ જે ટ્રીનો ભાગ નથી):

લિંક 1: શાખા 2 (BD)
લિંક 2: શાખા 6 (BC)
લિંક 3: શાખા 7 (AD)
લિંક 4: શાખા 5 (CD)

ટાઇ-સેટ સેડ્યુલ:

લિંક/ટ્રી શાખા	શાખા 1 (AB)	શાખા 3 (AC)	શાખા 4 (CD)	શાખા 2 (BD)	શાખા 6 (BC)	શાખા 7 (AD)	શાખા 5 (CD)
લિંક 1 (BD)	1	0	0	1	0	0	0
લિંક 2 (BC)	1	1	0	0	1	0	0
લિંક 3 (AD)	0	0	1	0	0	1	0
લિંક 4 (CD)	0	0	1	0	0	0	1

મેમરી ટ્રીક: "TGLT: Trees Generate Link-current Tie-sets"

પ્રશ્ન 1(ક) OR [7 ગુણ]

Fig. (૧) માં બતાવેલ નેટવર્ક માટે ગ્રાફ અને ટ્રી દોરો. ટ્રી પર બ્રાંચ વોલ્ટેજ બતાવો. સાથે ટ્રી માટે કટ-સેટ સેડ્યુલ લખો.

ઉત્તર:

નેટવર્કનો ગ્રાફ:

graph LR
    A((A)) --- B((B))
    A --- C((C))
    A --- D((D))
    B --- C
    B --- D
    C --- D
    A -- 1 --- B
    A -- 3 --- C
    B -- 2 --- D
    C -- 5 --- D
    B -- 6 --- C
    A -- 7 --- D
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

નેટવર્કનું ટ્રી (બોલ્ડ એજ સાથે બતાવેલ અને બ્રાંચ વોલ્ટેજ સાથે):

graph LR
    A((A)) --"V₁"--> B((B))
    A --"V₃"--> C((C))
    C --"V₄"--> D((D))
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    linkStyle 0 stroke-width:4px,stroke:green
    linkStyle 1 stroke-width:4px,stroke:green
    linkStyle 2 stroke-width:4px,stroke:green

કટ-સેટ સેડ્યુલ:

કટ-સેટ/શાખા	શાખા 1 (AB)	શાખા 3 (AC)	શાખા 4 (CD)	શાખા 2 (BD)	શાખા 6 (BC)	શાખા 7 (AD)	શાખા 5 (CD)
કટ-સેટ 1 (AB)	1	0	0	-1	-1	0	0
કટ-સેટ 2 (AC)	0	1	0	0	1	-1	0
કટ-સેટ 3 (CD)	0	0	1	1	0	1	1

મેમરી ટ્રીક: "CGVS: Cut-sets Generate Voltage Sources"

પ્રશ્ન 2(અ) [3 ગુણ]

વ્યાખ્યા આપો: ૧) એક્ટિવ અને પેસિવ નેટ્વર્ક ૨) યુનિલેટરલ અને બાઇ-લેટરલ નેટવર્ક.

ઉત્તર:

એક્ટિવ નેટવર્ક: એવું નેટવર્ક જેમાં એક કે વધારે EMF સ્રોત (વોલ્ટેજ/કરંટ સ્રોત) હોય જે સર્કિટને ઊર્જા પૂરી પાડે છે.
પેસિવ નેટવર્ક: એવું નેટવર્ક જેમાં માત્ર પેસિવ તત્વો જેવા કે રેઝિસ્ટર, કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર હોય, કોઈ ઊર્જા સ્રોત ન હોય.
યુનિલેટરલ નેટવર્ક: એવું નેટવર્ક જેમાં ઇનપુટ અને આઉટપુટ ટર્મિનલ્સ બદલવાથી તેની પ્રોપર્ટી અને પરફોર્મન્સ બદલાય છે.
બાઇલેટરલ નેટવર્ક: એવું નેટવર્ક જેમાં ઇનપુટ અને આઉટપુટ ટર્મિનલ્સ બદલવાથી તેની પ્રોપર્ટી અને પરફોર્મન્સ સમાન રહે છે.

આકૃતિ:

graph LR
    subgraph "નેટવર્કના પ્રકાર"
    A[એક્ટિવ: સ્રોત ધરાવે છે]
    B[પેસિવ: સ્રોત નથી]
    C[યુનિલેટરલ: ડાયોડ/ટ્રાન્ઝિસ્ટર]
    D[બાઇલેટરલ: R, L, C તત્વો]
    end

મેમરી ટ્રીક: "APUB: Active Provides energy, Unilateral Blocks reversal"

પ્રશ્ન 2(બ) [4 ગુણ]

Z પેરામિટર માટે સમીકરણ લખો અને Z11, Z12, Z21, Z22 એ સમીકરણો પરથી તારવો.

ઉત્તર:

Z-પેરામિટર્સ બે-પોર્ટ નેટવર્કમાં પોર્ટ વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

સમીકરણો:

V₁ = Z₁₁I₁ + Z₁₂I₂
V₂ = Z₂₁I₁ + Z₂₂I₂

તારણ:

Z₁₁ = V₁/I₁ (I₂ = 0 સાથે): આઉટપુટ પોર્ટ ઓપન-સર્કિટ હોય ત્યારે ઇનપુટ ઇમ્પીડન્સ
Z₁₂ = V₁/I₂ (I₁ = 0 સાથે): ઇનપુટ પોર્ટ ઓપન-સર્કિટ હોય ત્યારે રિવર્સ ટ્રાન્સફર ઇમ્પીડન્સ
Z₂₁ = V₂/I₁ (I₂ = 0 સાથે): આઉટપુટ પોર્ટ ઓપન-સર્કિટ હોય ત્યારે ફોરવર્ડ ટ્રાન્સફર ઇમ્પીડન્સ
Z₂₂ = V₂/I₂ (I₁ = 0 સાથે): ઇનપુટ પોર્ટ ઓપન-સર્કિટ હોય ત્યારે આઉટપુટ ઇમ્પીડન્સ

મેમરી ટ્રીક: "Z Impedance: Open circuit gives correct Parameters"

પ્રશ્ન 2(ક) [7 ગુણ]

સ્ટાન્ડર્ડ T નેટવર્ક માટે કેરક્ટરિસ્ટિક ઇમ્પિડન્સ (ZOT) નુ સમીકરણ તારવો.

ઉત્તર:

સ્ટાન્ડર્ડ T-નેટવર્ક માટે:

graph LR
    A((Port-1)) --- B[Z1] --- C((Junction))
    C --- D[Z2] --- E((Port-2))
    C --- F[Z3] --- G((Ground))

તારણના પગલાં:

સિમેટ્રિક T-નેટવર્ક માટે, Z₁ = Z₂
મેચ્ડ કન્ડિશન હેઠળ, ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ કેરેક્ટરિસ્ટિક ઇમ્પિડન્સ બરાબર હોય
Z₀ₜ = Z₁ + (Z₁×Z₃)/(Z₁ + Z₃)
બેલેન્સ્ડ T-નેટવર્ક જ્યાં Z₁ = Z₂ = Z/2 અને Z₃ = Z માટે:
Z₀ₜ = Z/2 + (Z/2×Z)/(Z/2 + Z)
Z₀ₜ = Z/2 + (Z²/2)/(Z + Z/2)
Z₀ₜ = Z/2 + (Z²/2)/(3Z/2)
Z₀ₜ = Z/2 + Z²/3Z
Z₀ₜ = Z/2 + Z/3
Z₀ₜ = (3Z + 2Z)/6
Z₀ₜ = √(Z₁(Z₁ + 2Z₃))

અંતિમ સમીકરણ: Z₀ₜ = √(Z₁(Z₁ + 2Z₃))

મેમરી ટ્રીક: "TO Impedance: Two arms Over middle branch"

પ્રશ્ન 2(અ) OR [3 ગુણ]

વ્યાખ્યા આપો. ૧) ડ્રાઇવીંગ પોઇંટ ઇમ્પીડન્સ ૨) ટ્રાન્સફર ઇમ્પીડન્સ

ઉત્તર:

ડ્રાઇવિંગ પોઇંટ ઇમ્પીડન્સ: જ્યારે અન્ય બધા સ્વતંત્ર સ્રોત શૂન્ય પર સેટ હોય ત્યારે સમાન પોર્ટ/ટર્મિનલના જોડા પર વોલ્ટેજ અને કરંટનો ગુણોત્તર.
ટ્રાન્સફર ઇમ્પીડન્સ: જ્યારે અન્ય બધા સ્વતંત્ર સ્રોત શૂન્ય પર સેટ હોય ત્યારે એક પોર્ટ પર વોલ્ટેજ અને બીજા પોર્ટ પર કરંટનો ગુણોત્તર.

આકૃતિ:

graph LR
    subgraph "ઇમ્પીડન્સના પ્રકાર"
    A[ડ્રાઇવિંગ પોઇંટ: V₁/I₁ અથવા V₂/I₂]
    B[ટ્રાન્સફર: V₂/I₁ અથવા V₁/I₂]
    end

મેમરી ટ્રીક: "DTSS: Driving at Terminal Same, Transfer at Separate"

પ્રશ્ન 2(બ) OR [4 ગુણ]

કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ લો ઉદાહરણ સાથે સમજાવો.

ઉત્તર:

કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ લો (KVL): સર્કિટમાં કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસના તમામ વોલ્ટેજનો અલજેબ્રાઇક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.

ગણિતમાં: ∑V = 0 (બંધ લૂપ આસપાસ)

સર્કિટ ઉદાહરણ:

graph LR
    A((\+)) --"10V"--> B
    B --"R₁ = 2Ω"--> C
    C --"R₂ = 3Ω"--> D
    D --"R₃ = 5Ω"--> A
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

જો I = 1A, તો:

V₁ = 1A × 2Ω = 2V
V₂ = 1A × 3Ω = 3V
V₃ = 1A × 5Ω = 5V

KVL લાગુ કરતાં: 10V - 2V - 3V - 5V = 0 ✓

મેમરી ટ્રીક: "VACZ: Voltages Around Closed loop are Zero"

પ્રશ્ન 2(ક) OR [7 ગુણ]

Π નેટવર્ક માથી T નેટવર્ક મા બદલવાના સમીકણ તારવો.

ઉત્તર:

π નેટવર્કને T નેટવર્કમાં રૂપાંતરણ:

graph TD
    subgraph "π નેટવર્ક"
    A1((A)) --- B1((B))
    A1 --- Y1[Ya] --- C1
    B1 --- Y2[Yb] --- C1
    A1 --- Y3[Yc] --- B1
    C1((C))
    end

    subgraph "T નેટવર્ક"
    A2((A)) --- Z1[Za] --- D2((D))
    B2((B)) --- Z2[Zb] --- D2
    D2 --- Z3[Zc] --- C2((C))
    end

રૂપાંતરણ સમીકરણો:

Za = (Ya × Yc) / Y∆
Zb = (Yb × Yc) / Y∆
Zc = (Ya × Yb) / Y∆

જ્યાં Y∆ = Ya + Yb + Yc

તારણ:

π-નેટવર્કના Y-પેરામિટર્સથી શરૂઆત કરો
શાખા એડમિટન્સના સંદર્ભમાં Y-પેરામિટર્સને વ્યક્ત કરો
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝનનો ઉપયોગ કરીને Z-પેરામિટર્સમાં રૂપાંતરિત કરો
Z-પેરામિટર્સના સંદર્ભમાં T-નેટવર્ક ઇમ્પિડન્સને વ્યક્ત કરો
સરળ બનાવીને ઉપરના રૂપાંતરણ સૂત્રો મેળવો

મેમરી ટ્રીક: "PIE to TEA: Product over sum for opposite branch"

પ્રશ્ન 3(અ) [3 ગુણ]

કિર્ચોફનો કરંટ લો ઉદાહરણ સાથે સમજાવો.

ઉત્તર:

કિર્ચોફનો કરંટ લો (KCL): કોઈપણ નોડમાં પ્રવેશતા અને છોડતા તમામ કરંટનો અલજેબ્રાઇક સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.

ગણિતમાં: ∑I = 0 (કોઈપણ નોડ પર)

સર્કિટ ઉદાહરણ:

graph TD
    A[I₁ = 5A] --> B((Node))
    C[I₂ = 2A] --> B
    B --> D[I₃ = 3A]
    B --> E[I₄ = 4A]
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

નોડ B પર KCL લાગુ કરતાં:

પ્રવેશતા કરંટ: I₁ + I₂ = 5A + 2A = 7A
છોડતા કરંટ: I₃ + I₄ = 3A + 4A = 7A
તેથી: I₁ + I₂ - I₃ - I₄ = 5 + 2 - 3 - 4 = 0 ✓

મેમરી ટ્રીક: "CuNoZ: Currents at Node are Zero"

પ્રશ્ન 3(બ) [4 ગુણ]

જરુરી સમીકરણો સાથે મેશ એનાલિસિસ સમજાવો.

ઉત્તર:

મેશ એનાલિસિસ: એક સર્કિટ એનાલિસિસ તકનીક જે મલ્ટિપલ લૂપ્સ વાળી સર્કિટને ઉકેલવા માટે મેશ કરંટ્સનો ઉપયોગ કરે છે.

પગલાં:

સર્કિટમાં બધા મેશ (બંધ લૂપ) ઓળખો
દરેક મેશને મેશ કરંટ સોંપો
દરેક મેશ પર KVL લાગુ કરો
પરિણામી સમીકરણ સિસ્ટમને ઉકેલો

ઉદાહરણ સર્કિટ:

graph LR
    A((A)) -- R₁ --- B((B))
    B -- R₃ --- C((C))
    A -- R₂ --- C
    A -- V₁ --- D
    D -- \+ --- A
    C -- V₂ --- E
    E -- \+ --- C
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

સમીકરણો:

મેશ 1: V₁ = I₁R₁ + I₁R₂ - I₂R₂
મેશ 2: V₂ = I₂R₂ + I₂R₃ - I₁R₂

મેમરી ટ્રીક: "MILK: Mesh Is Loop with KVL"

પ્રશ્ન 3(ક) [7 ગુણ]

થીવીનીન નો થીયરમ લખો અને સમજાવો.

ઉત્તર:

થીવીનીનનો સિદ્ધાંત: કોઈપણ લીનીયર નેટવર્ક જેમાં વોલ્ટેજ અને કરંટ સ્રોત હોય તેને એક વોલ્ટેજ સ્રોત (VTH) અને એક રેઝિસ્ટન્સ (RTH) સીરીઝમાં ધરાવતા તુલ્ય સર્કિટ દ્વારા બદલી શકાય છે.

graph TD
    subgraph "મૂળ નેટવર્ક"
    A((A)) --- B[જટિલ નેટવર્ક] --- C((B))
    end
    subgraph "થીવીનીન સમકક્ષ"
    D((A)) --- E[VTH] --- F((\+))
    F --- G[RTH] --- H((B))
    end

થીવીનીન સમકક્ષ શોધવાના પગલાં:

જે ટર્મિનલ માટે સમકક્ષ શોધવાની છે તેમાંથી લોડ દૂર કરો
આ ટર્મિનલ્સ વચ્ચે ઓપન-સર્કિટ વોલ્ટેજ (VOC) ગણો (= VTH)
તમામ સ્રોતોને તેમના આંતરિક રેઝિસ્ટન્સ દ્વારા બદલીને સર્કિટમાં પાછા જોતા રેઝિસ્ટન્સ ગણો (= RTH)
થીવીનીન સમકક્ષ VTH અને RTH સીરીઝમાં ધરાવે છે

ઉદાહરણ ઍપ્લિકેશન:

લોડ RL સાથે મૂળ જટિલ સર્કિટ
RL દૂર કરો અને VOC = VTH શોધો
સ્રોતોને નિષ્ક્રિય કરો અને RTH શોધો
સરળીકૃત થીવીનીન સમકક્ષ સાથે RL ફરીથી જોડો

મેમરી ટ્રીક: "TORV: Thevenin's Open-circuit Resistance and Voltage"

પ્રશ્ન 3(અ) OR [3 ગુણ]

રેસિપ્રોસિટી થીયરમ લખો અને સમજાવો.

ઉત્તર:

રેસિપ્રોસિટી સિદ્ધાંત: એક લીનિયર, બાઇલેટરલ નેટવર્કમાં, જો એક શાખામાં વોલ્ટેજ સ્રોત બીજી શાખામાં કરંટ ઉત્પન્ન કરે છે, તો તે જ વોલ્ટેજ સ્રોત, જો બીજી શાખામાં મૂકવામાં આવે, તો તે પ્રથમ શાખામાં સમાન કરંટ ઉત્પન્ન કરશે.

graph LR
    subgraph "મૂળ સર્કિટ"
    direction LR
    A((A)) --- B[V] --- C((B))
    C --- D[નેટવર્ક] --- E((C))
    E --- F[એમીટર] --- A
    end

    subgraph "રેસિપ્રોકલ સર્કિટ"
    direction LR
    G((A)) --- H[એમીટર] --- I((B))
    I --- J[નેટવર્ક] --- K((C))
    K --- L[V] --- G
    end

ગણિતમાં: જો શાખા 1માં વોલ્ટેજ V₁ શાખા 2માં કરંટ I₂ ઉત્પન્ન કરે છે, તો શાખા 2માં વોલ્ટેજ V₁ શાખા 1માં કરંટ I₂ ઉત્પન્ન કરશે.

મર્યાદાઓ: ફક્ત નીચેના લક્ષણો ધરાવતા નેટવર્ક માટે લાગુ પડે છે:

લીનિયર તત્વો
બાઇલેટરલ તત્વો (ડાયોડ, ટ્રાન્ઝિસ્ટર નહીં)
એક સ્વતંત્ર સ્રોત

મેમરી ટ્રીક: "RESWAP: REciprocity SWAPs Position with identical results"

પ્રશ્ન 3(બ) OR [4 ગુણ]

જરુરી સમિકરણો સાથે નોડલ એનાલિસિસ સમજાવો.

ઉત્તર:

નોડલ એનાલિસિસ: એક સર્કિટ એનાલિસિસ તકનીક જે સર્કિટ ઉકેલવા માટે નોડ વોલ્ટેજનો ઉપયોગ કરે છે.

પગલાં:

રેફરન્સ નોડ (ગ્રાઉન્ડ) પસંદ કરો
બાકીના નોડ્સને વોલ્ટેજ વેરિયેબલ સોંપો
દરેક નોન-રેફરન્સ નોડ પર KCL લાગુ કરો
પરિણામી સમીકરણ સિસ્ટમને ઉકેલો

ઉદાહરણ સર્કિટ:

graph LR
    A((નોડ 1)) -- G₁ --- B((ગ્રાઉન્ડ))
    C((નોડ 2)) -- G₂ --- B
    A -- G₃ --- C
    A -- I₁ --> B
    C -- I₂ --> B
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

સમીકરણો:

નોડ 1: I₁ = V₁G₁ + (V₁-V₂)G₃
નોડ 2: I₂ = V₂G₂ + (V₂-V₁)G₃

મેમરી ટ્રીક: "NKCV: Nodal uses KCL with Voltage variables"

પ્રશ્ન 3(ક) OR [7 ગુણ]

મેક્સિમમ પાવર ટ્રાન્સફર થીયરમ લખો અને સમજાવો.

ઉત્તર:

મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર સિદ્ધાંત: એક સ્રોત સાથે જોડાયેલ લોડ મહત્તમ પાવર ત્યારે મેળવશે જ્યારે તેનો રેઝિસ્ટન્સ સ્રોતના આંતરિક રેઝિસ્ટન્સ બરાબર હોય.

graph LR
    A((\+)) --- B[VS] --- C((X))
    C --- D[RS] --- E((Y))
    E --- F[RL] --- G((Z))
    G --- A
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

પ્રમાણ:

સર્કિટમાં કરંટ: I = VS/(RS + RL)
લોડમાં પહોંચતો પાવર: P = I²RL = (VS²RL)/(RS + RL)²
મહત્તમ પાવર માટે, dP/dRL = 0
ઉકેલતાં: (VS²(RS + RL)² - VS²RL·2(RS + RL))/(RS + RL)⁴ = 0
સરળ કરતાં: (RS + RL)² = 2RL(RS + RL)
વધુ સરળ કરતાં: RS + RL = 2RL
તેથી: RS = RL

મહત્તમ પાવર: Pmax = VS²/(4RS)

મેમરી ટ્રીક: "MaRLRS: Maximum power when load Resistance equals Source Resistance"

પ્રશ્ન 4(અ) [3 ગુણ]

શા માટે સિરિઝ રેઝોનંસ સર્કિટ વોલ્ટેજ એમ્પ્લિફાયર અને પેરેલલ રેઝોનંસ સર્કિટ કરંટ એમ્પ્લિફાયર તરીકે વર્તે છે?

ઉત્તર:

સિરીઝ રેઝોનન્સ વોલ્ટેજ એમ્પ્લિફાયર તરીકે:

રેઝોનન્સ પર, સિરીઝ સર્કિટ ઇમ્પીડન્સ ન્યૂનતમ (માત્ર R) હોય છે
L અથવા C પરનો વોલ્ટેજ સ્રોત વોલ્ટેજ કરતાં ઘણો વધારે હોઈ શકે
વોલ્ટેજ મેગ્નિફિકેશન ફેક્ટર = Q = XL/R = 1/R√(L/C)
L અથવા C પરનો વોલ્ટેજ = Q × સ્રોત વોલ્ટેજ

પેરેલલ રેઝોનન્સ કરંટ એમ્પ્લિફાયર તરીકે:

રેઝોનન્સ પર, પેરેલલ સર્કિટ ઇમ્પીડન્સ મહત્તમ હોય છે
L અથવા C માંથી પસાર થતો કરંટ સ્રોત કરંટ કરતાં ઘણો વધારે હોઈ શકે
કરંટ મેગ્નિફિકેશન ફેક્ટર = Q = R/XL = R√(C/L)
L અથવા C માંથી પસાર થતો કરંટ = Q × સ્રોત કરંટ

કોષ્ટક:

સર્કિટ પ્રકાર	રેઝોનન્સ પર ઇમ્પીડન્સ	એમ્પ્લિફિકેશન
સિરીઝ	ન્યૂનતમ (માત્ર R)	વોલ્ટેજ (VL અથવા VC = Q×VS)
પેરેલલ	મહત્તમ (R²/r)	કરંટ (IL અથવા IC = Q×IS)

મેમરી ટ્રીક: "SeVoPa: Series Voltage, Parallel current amplification"

પ્રશ્ન 4(બ) [4 ગુણ]

કોઇલ ના Q નુ સમીકરણ તારવો.

ઉત્તર:

કોઇલનો Q-ફેક્ટર:

graph LR
    A((A)) --- B[R] --- C((B))
    C --- D[L] --- A
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

તારણ:

Q-ફેક્ટર વ્યાખ્યાયિત: Q = સ્ટોર થયેલી ઊર્જા / પ્રતિ સાયકલ વેડફાયેલી ઊર્જા
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા = (1/2)LI²
રેઝિસ્ટરમાં વેડફાયેલી પાવર = I²R
પ્રતિ સાયકલ વેડફાયેલી ઊર્જા = પાવર × સમય અવધિ = I²R × (1/f)
તેથી: Q = ((1/2)LI²) / (I²R × (1/f))
સરળ કરતાં: Q = 2π × (1/2)LI² × f / (I²R)
Q = 2πf × L / R = ωL / R

અંતિમ સમીકરણ: Q = ωL / R = 2πfL / R = XL / R

મેમરી ટ્રીક: "QualityEDR: Quality equals Energy stored Divided by energy lost per Radian"

પ્રશ્ન 4(ક) [7 ગુણ]

સિરિઝ R-L-C સર્કિટ માટે સિરિઝ રેઝોનંસ ફ્રિક્વંસી નુ સમીકરણ તારવો.

ઉત્તર:

સિરીઝ R-L-C સર્કિટ:

graph LR
    A((Input)) --- B[R] --- C[L] --- D[C] --- E((Output))
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

તારણ:

સિરીઝ RLC સર્કિટની ઇમ્પીડન્સ: Z = R + j(XL - XC)
જ્યાં: XL = ωL અને XC = 1/ωC
રેઝોનન્સ પર, XL = XC (ઇન્ડક્ટિવ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે)
તેથી: ωL = 1/ωC
ω માટે ઉકેલતાં: ω² = 1/LC
રેઝોનન્ટ ફ્રિક્વન્સી: ω₀ = 1/√(LC)
ફ્રિક્વન્સી f ના સંદર્ભમાં: f₀ = 1/(2π√(LC))

રેઝોનન્સ પર લક્ષણો:

ઇમ્પીડન્સ ન્યૂનતમ (સંપૂર્ણ રેઝિસ્ટિવ: Z = R)
કરંટ મહત્તમ (I = V/R)
પાવર ફેક્ટર એકમ (સર્કિટ રેઝિસ્ટિવ લાગે છે)
L અને C પરના વોલ્ટેજ સમાન અને વિપરીત હોય છે

મેમરી ટ્રીક: "RES: Reactances Equal at Series resonance"

પ્રશ્ન 4(અ) OR [3 ગુણ]

કપલ્ડ સર્કિટ શુ છે? સેલ્ફ ઇંડક્ટંસ અને મ્યુચ્યુઅલ ઇંદક્ટંસ ની વ્યાખ્યા આપો.

ઉત્તર:

કપલ્ડ સર્કિટ્સ: બે અથવા વધુ સર્કિટ્સ જે મેગ્નેટિક રીતે જોડાયેલી હોય, જેથી તેમની પરસ્પર મેગ્નેટિક ફીલ્ડ દ્વારા ઊર્જા એકમાંથી બીજામાં ટ્રાન્સફર થઈ શકે.

graph TD
    subgraph "પ્રાઇમરી"
    A((A)) --- B[L1] --- C((B))
    end

    subgraph "સેકન્ડરી"
    D((C)) --- E[L2] --- F((D))
    end
    
    G[M] -.-> B
    G -.-> E

સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ (L): એક સર્કિટનો ગુણધર્મ જેના દ્વારા કરંટમાં ફેરફારથી તે જ સર્કિટમાં સેલ્ફ-ઇન્ડ્યુસ્ડ EMF ઉત્પન્ન થાય છે. L = Φ/I (મેગ્નેટિક ફ્લક્સનો તેને ઉત્પન્ન કરતા કરંટ સાથેનો ગુણોત્તર)

મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ (M): એક સર્કિટનો ગુણધર્મ જેના દ્વારા એક સર્કિટમાં કરંટમાં ફેરફારથી બીજી સર્કિટમાં EMF ઇન્ડ્યુસ કરે છે. M = Φ₂₁/I₁ (સર્કિટ 1 માં કરંટને કારણે સર્કિટ 2 માં ફ્લક્સનો ગુણોત્તર)

મેમરી ટ્રીક: "SiMu: Self in Mine, Mutual in Yours"

પ્રશ્ન 4(બ) OR [4 ગુણ]

કો-એફિસિઅંટ ઓફ કપલિંગ(K) નુ સમીકરણ તારવો.

ઉત્તર:

કપલિંગનો ગુણાંક (k):

graph LR
    subgraph "કપલ્ડ કોઇલ્સ"
    A((A)) --- B[L1] --- C((B))
    D((C)) --- E[L2] --- F((D))
    G[M] -.-> B
    G -.-> E
    end

તારણ:

બે કોઇલ્સ વચ્ચેનો મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ (M) આના પર આધારિત છે:
- કોઇલ્સનો સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ (L₁ અને L₂)
- ભૌતિક ગોઠવણ (નજીકતા અને દિશા)
મહત્તમ શક્ય મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ: Mₘₐₓ = √(L₁L₂)
કપલિંગનો ગુણાંક વ્યાખ્યાયિત: k = M/Mₘₐₓ
તેથી: k = M/√(L₁L₂)

લક્ષણો:

k ની રેન્જ 0 (કોઈ કપલિંગ નહીં) થી 1 (પૂર્ણ કપલિંગ) સુધી
k ભૂમિતિ, દિશાનિર્દેશન અને માધ્યમ પર આધારિત છે
સામાન્ય ટ્રાન્સફોર્મર: k = 0.95 થી 0.99
એર-કોર કોઇલ્સ: k = 0.01 થી 0.5

મેમરી ટ્રીક: "KMutual: K Measures Mutual linkage proportion"

પ્રશ્ન 4(ક) OR [7 ગુણ]

સિરિઝા RLC સર્કિટ મા R=30Ω, L=0.5H, અને C=5µF છે. (૧) સિરિઝ રેઝોનંસ ફ્રિલક્વંસિ (૨) Q ફેક્ટર (૩)BW ની ગણતરી કરો.

ઉત્તર:

આપેલ:

રેઝિસ્ટન્સ, R = 30Ω
ઇન્ડક્ટન્સ, L = 0.5H
કેપેસિટન્સ, C = 5µF = 5×10⁻⁶F

ગણતરી:

(૧) સિરીઝ રેઝોનન્સ ફ્રિક્વન્સી:

f₀ = 1/(2π√(LC))
f₀ = 1/(2π√(0.5 × 5×10⁻⁶))
f₀ = 1/(2π√(2.5×10⁻⁶))
f₀ = 1/(2π × 1.58×10⁻³)
f₀ = 1/(9.9×10⁻³)
f₀ = 100.76 Hz
f₀ ≈ 100 Hz

(૨) Q ફેક્ટર:

Q = (1/R)√(L/C)
Q = (1/30)√(0.5/(5×10⁻⁶))
Q = (1/30)√(100,000)
Q = (1/30) × 316.23
Q = 10.54

(૩) બેન્ડવિડ્થ (BW):

BW = f₀/Q
BW = 100.76/10.54
BW = 9.56 Hz

કોષ્ટક:

પેરામીટર	સૂત્ર	મૂલ્ય
રેઝોનન્ટ ફ્રિક્વન્સી (f₀)	1/(2π√(LC))	100 Hz
ક્વોલિટી ફેક્ટર (Q)	(1/R)√(L/C)	10.54
બેન્ડવિડ્થ (BW)	f₀/Q	9.56 Hz

મેમરી ટ્રીક: "RQB: Resonance Quality determines Bandwidth"

પ્રશ્ન 5(અ) [3 ગુણ]

એટેન્યુટર નુ વર્ગીકરણ કરો.

ઉત્તર:

એટેન્યુએટર્સ: રેઝિસ્ટર્સનું નેટવર્ક જે વિકૃતિ વિના સિગ્નલ લેવલને ઘટાડવા (એટેન્યુએટ) માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.

એટેન્યુએટર્સના પ્રકાર:

graph TD
    A[એટેન્યુએટર્સ] --> B[ફિક્સ્ડ એટેન્યુએટર્સ]
    A --> C[વેરિએબલ એટેન્યુએટર્સ]
    B --> D[T-પ્રકાર]
    B --> E[π-પ્રકાર]
    B --> F[બ્રિજ્ડ-T]
    B --> G[લેટિસ]
    C --> H[સ્ટેપ એટેન્યુએટર્સ]
    C --> I[કન્ટિન્યુઅસલી વેરિએબલ]

કોન્ફિગરેશન આધારિત:

T-પ્રકાર: ત્રણ રેઝિસ્ટર T-આકારની કોન્ફિગરેશન
π-પ્રકાર: ત્રણ રેઝિસ્ટર π-આકારની કોન્ફિગરેશન
બ્રિજ્ડ-T: T-પ્રકાર સાથે એક રેઝિસ્ટર આરપાર જોડાય
લેટિસ: ચાર રેઝિસ્ટર્સ સાથે બેલેન્સ્ડ કોન્ફિગરેશન

સિમેટ્રી આધારિત:

સિમેટ્રિકલ: સમાન ઈનપુટ અને આઉટપુટ ઇમ્પીડન્સ
અસિમેટ્રિકલ: અલગ ઈનપુટ અને આઉટપુટ ઇમ્પીડન્સ

મેમરી ટ્રીક: "ATP Fixed: Attenuator Types include Pad, Tee, Lattice"

પ્રશ્ન 5(બ) [4 ગુણ]

એટેન્યુએશન અને નેપર વચ્ચેનો સંબંધ તારવો.

ઉત્તર:

એટેન્યુએશન અને નેપર વચ્ચેનો સંબંધ:

એટેન્યુએશન (α): ઇનપુટ વોલ્ટેજ (અથવા કરંટ)નો આઉટપુટ વોલ્ટેજ (અથવા કરંટ) સાથેનો ગુણોત્તર, વિવિધ એકમોમાં વ્યક્ત.
નેપર (Np): ગુણોત્તરનો નેચરલ લોગેરિધમિક એકમ, મુખ્યત્વે ટ્રાન્સમિશન લાઇન થિયરીમાં વપરાય છે.

તારણ:

વોલ્ટેજ ગુણોત્તર V₁/V₂ માટે:
- નેપરમાં એટેન્યુએશન = ln(V₁/V₂)
- ડેસિબલમાં એટેન્યુએશન = 20log₁₀(V₁/V₂)
પાવર ગુણોત્તર P₁/P₂ માટે:
- નેપરમાં એટેન્યુએશન = (1/2)ln(P₁/P₂)
- ડેસિબલમાં એટેન્યુએશન = 10log₁₀(P₁/P₂)
dB અને નેપર વચ્ચેનો સંબંધ:
- 1 નેપર = 8.686 dB
- 1 dB = 0.115 નેપર

કોષ્ટક:

એકમ	વોલ્ટેજ ગુણોત્તર	પાવર ગુણોત્તર
નેપર (Np)	ln(V₁/V₂)	(1/2)ln(P₁/P₂)
ડેસિબલ (dB)	20log₁₀(V₁/V₂)	10log₁₀(P₁/P₂)

મેમરી ટ્રીક: "NED: Neper Equals Decibel divided by 8.686"

પ્રશ્ન 5(ક) [7 ગુણ]

સિમેટ્રિકલ T એટેન્યુએટર માટે R1 અને R2 ના સમીકરણો તારવો.

ઉત્તર:

સિમેટ્રિકલ T એટેન્યુએટર:

graph LR
    A((Input)) --- B[R1] --- C((Junction))
    C --- D[R1] --- E((Output))
    C --- F[R2] --- G((Ground))
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style E fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

તારણ:

કેરેક્ટરિસ્ટિક ઇમ્પીડન્સ Z₀ સાથેના સિમેટ્રિકલ T-એટેન્યુએટર માટે:
- ઇનપુટ અને આઉટપુટ ઇમ્પીડન્સ બંને Z₀ બરાબર હોવા જોઈએ
- એટેન્યુએશન રેશિયો N = V₁/V₂ = I₂/I₁
સર્કિટ એનાલિસિસથી:
- Z₀ = R₁ + (R₂(R₁))/(R₂+R₁)
- N = (R₁ + R₂ + R₁)/R₂ = (2R₁+R₂)/R₂
R₁ અને R₂ માટે ઉકેલ:
- R₁ = Z₀(N-1)/(N+1)
- R₂ = 2Z₀N/(N²-1)
dB (α) માં એટેન્યુએશન માટે:
- N = 10^(α/20)
- R₁ = Z₀·tanh(α/2)
- R₂ = Z₀/sinh(α)

અંતિમ સમીકરણો:

R₁ = Z₀(N-1)/(N+1)
R₂ = 2Z₀N/(N²-1)

મેમરી ટ્રીક: "TSR: T-attenuator Symmetry Requires equal R1 values"

પ્રશ્ન 5(અ) OR [3 ગુણ]

સિમેટ્રિકલ બિ્રજ T અને સિમેટ્રિકલ લેટિસ એટેન્યુએટર ની સર્કિટ દોરો.

ઉત્તર:

સિમેટ્રિકલ બ્રિજ-T એટેન્યુએટર:

                R1
   A o--------/\/\/\--------o B
              |      |
              |      |
              \      /
              /  R3  \
       R2     \      /
   o---/\/\/\--+     +----o
   |                      |
   o----------------------o
   C                      D

સિમેટ્રિકલ લેટિસ એટેન્યુએટર:

           R1
   A o----/\/\/\----o B
      \            /
       \          /
        \        /
     R2  \      / R2
          \    /
           \  /
            \/
            /\
           /  \
          /    \
         /      \
    R1  /        \
     C o--\/\/\/--o D

લક્ષણો:

બ્રિજ-T: T અને π એટેન્યુએટર્સની વિશેષતાઓ સંયોજિત કરે છે, ઉચ્ચ-ફ્રિક્વન્સી એપ્લિકેશન માટે યોગ્ય
લેટિસ: ઉત્તમ ફેઝ અને ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ સાથેની બેલેન્સ્ડ કોન્ફિગરેશન, સામાન્ય રીતે બેલેન્સ્ડ લાઇન્સમાં વપરાય છે

મેમરી ટ્રીક: "BL-BA: Bridge Ladder, Balanced Attenuators"

પ્રશ્ન 5(બ) OR [4 ગુણ]

ફ્રિક્વંસી ને આધારે ફિલ્ટર નુ વર્ગીકરણ કરો અને સાથે પાસ બેંડ અને સ્ટોપ બેંડ દર્શાવતા ફ્રિક્વંસી રિસ્પોંસ દોરો.

ઉત્તર:

ફ્રિક્વન્સી આધારિત ફિલ્ટરનું વર્ગીકરણ:

graph TD
    A[પેસિવ ફિલ્ટર્સ] --> B[લો પાસ ફિલ્ટર]
    A --> C[હાઇ પાસ ફિલ્ટર]
    A --> D[બેન્ડ પાસ ફિલ્ટર]
    A --> E[બેન્ડ સ્ટોપ ફિલ્ટર]
    A --> F[ઓલ પાસ ફિલ્ટર]

ફ્રિક્વન્સી રિસ્પોન્સ:

લો પાસ ફિલ્ટર: કટઓફ નીચેની ફ્રિક્વન્સી પસાર કરે, ઉપરની એટેન્યુએટ કરે
```
Gain |
   1 |****
     |    ****
     |        ****
   0 |------------****----
     |
     +----------------------
        0     fc        f →
```
હાઇ પાસ ફિલ્ટર: કટઓફ ઉપરની ફ્રિક્વન્સી પસાર કરે, નીચેની એટેન્યુએટ કરે
```
Gain |
   1 |            ****
     |        ****
     |    ****
   0 |****-----------------
     |
     +----------------------
        0     fc        f →
```

બેન્ડ પાસ ફિલ્ટર: ચોક્કસ બેન્ડની અંદરની ફ્રિક્વન્સી પસાર કરે

Gain |
   1 |        ****
     |    ****    ****
     |   *          *
   0 |***-------------***--
     |
     +----------------------
        0   f1   f2     f →

બેન્ડ સ્ટોપ ફિલ્ટર: ચોક્કસ બેન્ડની અંદરની ફ્રિક્વન્સી રિજેક્ટ કરે
```
Gain |
   1 |***             ***
     |   *           *
     |    ***     ***
   0 |        *****
     |
     +----------------------
        0   f1   f2     f →
```

મેમરી ટ્રીક: "LHBBA: Low High Band-pass Band-stop All-pass"

પ્રશ્ન 5(ક) OR [7 ગુણ]

Constant-k લો પાસ ફિલ્ટર ના T સેક્શન અને Π સેક્શન દોરો અને કટ ઓફ ફ્રિક્વંસીનુ સમીકરણ તારવો.

ઉત્તર:

T-સેક્શન Constant-K લો પાસ ફિલ્ટર:

           L/2            L/2
   o------UUUUUU------UUUUUU-------o
   |                               |
   |                               |
   |                               |
   |              C                |
   |              |                |
   o--------------+----------------o
   Input                        Output

π-સેક્શન Constant-K લો પાસ ફિલ્ટર:

          L
   o------UUUUUU---------o
   |                     |
   |                     |
   |                     |
   |                     |
  ---                   ---
  --- C/2               --- C/2
   |                     |
   |                     |
   o---------------------o
   Input              Output

કટઓફ ફ્રિક્વન્સીનું તારણ:

Constant-K ફિલ્ટર માટે:
- Z₁ × Z₂ = R₀² (કેરેક્ટરિસ્ટિક ઇમ્પીડન્સ વર્ગ)
- Z₁ = jωL (સિરીઝ ઇમ્પીડન્સ)
- Z₂ = 1/jωC (શન્ટ ઇમ્પીડન્સ)
તેથી:
- R₀² = Z₁ × Z₂ = jωL × 1/jωC = L/C
- R₀ = √(L/C)
પાસ બેન્ડ કન્ડિશન:
- -1 < Z₁/4Z₂ < 0
- -1 < jωL/(4 × 1/jωC) < 0
- -1 < -ω²LC/4 < 0
કટઓફ ફ્રિક્વન્સી પર:
- ω²LC/4 = 1
- ωc² = 4/LC
- ωc = 2/√(LC)
- fc = ωc/2π = 1/π√(LC)

અંતિમ સમીકરણ:

કટઓફ ફ્રિક્વન્સી fc = 1/π√(LC)

મેમરી ટ્રીક: "KCLP: Konstant-k Cutoff in Low Pass depends on L and C product"